Leibniz 3.7.1 Analyse mathématique des effets de revenu et de substitution

Nous avons vu que quand vous décidez combien d’heures par jour vous voulez travailler, l’effet sur votre décision d’un changement de votre salaire peut être décomposé graphiquement en un effet de revenu et un effet de substitution. Ce Leibniz montre comment faire cette décomposition mathématiquement.

Nous avons modélisé la décision d’heures de travail en supposant que vous choisissiez votre consommation \(c\) et vos heures de temps libre \(t\) afin de maximiser votre utilité, étant donné que votre consommation dépend de ce que vous gagnez. Nous pouvons écrire cela mathématiquement comme un problème d’optimisation sous contrainte :

\[\begin{align*}\text{maximiser}\ U(t,\ c) \text{ sous la contrainte }\ c=w(24-t)+I \end{align*}\]

où \(w\) est votre salaire et \(I\) le revenu que vous recevez indépendamment de vos heures de travail (par exemple, d’un mystérieux bienfaiteur).

Nous résoudrons ce problème pour une fonction d’utilité spécifique :

\[U(t,\ c) = tc\]

afin de trouver le choix optimal de temps libre. Ensuite, nous pourrons déterminer la manière dont ce choix optimal change quand le salaire, \(w\), change et décomposer le changement en un effet de revenu et un effet de substitution.

La condition de premier ordre pour l’optimisation consiste à égaliser le taux marginal de transformation (TMT) et le taux marginal de substitution (TMS). Comme nous l’avons vu dans le texte, votre TMT est \(w\). Pour voir cela rapidement, souvenez-vous que la contrainte budgétaire \(c=w(24-t)+I\) est l’équation de la frontière des possibles. Le TMT correspond à la valeur absolue de la pente de la frontière des possibles :

\[\text{TMT} = \left|\frac{dc}{dt}\right|=w\]

Le TMS peut être calculé en utilisant la formule que nous connaissons des Leibniz précédents :

\[\text{TMS} = \left| \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial c} \right.\right| = \frac{c}{t}\]

Donc dans ce cas, la condition de premier ordre TMS = TMT nous donne \(c/t=w\), ou de manière équivalente \(wt-c=0\). Les valeurs optimales de \(t\) et de \(c\) peuvent être trouvées en résolvant un système à deux équations, à savoir la condition de premier ordre et la contrainte :

\[wt - c = 0,\ \ c = w\left( 24 - t \right) + I\]

La solution est :

\[t = 12 + \frac{I}{2w}, \quad c = 12w + \frac{I}{2}\]

Ainsi, le nombre optimal d’heures de temps libre est une fonction du salaire et du revenu additionnel, avec les dérivées partielles suivantes :

\[\frac{\partial t}{\partial w} = - \frac{I}{2w^2} \lt0 , \quad \frac{\partial t}{\partial I} = \frac{1}{2w} \gt0\]

Ces deux dérivées partielles nous disent comment le nombre d’heures de temps libre choisies varie quand le salaire ou le revenu supplémentaire varie. L’inégalité \(\dfrac{\partial t}{\partial I} \gt0\) nous dit qu’avec cette fonction d’utilité, le temps libre \(t\) augmente si le revenu \(I\) augmente et que le salaire ne change pas. De \(\dfrac{\partial t}{\partial w}\lt0\), nous pouvons voir que \(t\) diminue si \(w\) augmente et que le revenu ne change pas.

En d’autres mots, l’effet total d’une hausse de salaire quand le revenu \(I\) ne change pas, donné par \(\dfrac{\partial t}{\partial w}\), est négatif. Cet effet total peut être décomposé en effets de revenu et de substitution. Nous utiliserons un exemple numérique pour voir comment.

Un exemple numérique

Supposez que \(w = 16\) et \(I = 160\). En entrant ces valeurs dans les équations de la solution ci-dessus, nous trouvons que le choix optimal d’heures de temps libre et de dollars de consommation est :

\[t_0 = 12 + \frac{160}{2 \times 16} =17, \quad c_0 = 12 \times 16 + \frac{160}{2} = 272\]

Le niveau d’utilité est \(U_0=t_0 \times c_0 =17 \times 272 = 4 624\).

Supposez maintenant que le salaire augmente et prenne la valeur de 25, tandis que le revenu reste à 160. Nous trouverons d’abord l’effet total d’une hausse de salaire sur la décision de temps libre et ensuite nous le décomposerons.

1. Quel est l’effet total de la hausse du salaire ?

Avec \(w=25\) et \(I=160\), le choix optimal de \(t\) et \(c\) est :

\[t_1 = 12 + \frac{160}{2 \times 25} =15,2, \quad c_1 = 12 \times 25 + \frac{160}{2} = 380\]

Le niveau d’utilité monte à \(U_1=15,2 \times 380 = 5 776\).

Nous pouvons voir que l’effet total d’une hausse de salaire de 16 à 25, quand le revenu reste constant à 160, est de réduire le temps libre :

\[t_1-t_0=15,2-17=-1,8\]

2. Quelle modification du revenu aurait le même effet sur l’utilité que la hausse du salaire ?

Supposez que le salaire soit resté à \(w=16\), mais que le revenu ait changé de 160 à \(J\). Pour donner un niveau d’utilité de 5 776, \(J\) doit satisfaire l’équation

\[\left(12 + \frac{J}{32}\right)\left(192 + \frac{J}{2}\right) = 5 776\]

Nous pouvons écrire cette équation sous la forme : \((384 + J)^2 = 64 \times 5 776\). En prenant la racine carrée des deux côtés (seule la racine positive a un sens économique), nous obtenons \(384 + J = 608\) et donc \(J=224\).

Ainsi, augmenter le revenu de 160 à 224, tout en gardant le salaire à 16, aurait le même effet sur l’utilité qu’une hausse de salaire de 16 à 25.

3. Trouver l’effet de revenu

Nous le trouvons en déterminant comment le changement de revenu, qui est équivalent au changement de salaire, affecterait le choix de temps libre.

Quand le revenu augmente à 224 et avec un salaire de 16, le choix optimal d’heures de temps libre est :

\[t_2 = 12 + \frac{224}{2 \times 16} =19\]

Cela nous donne l’effet de revenu de la hausse de salaire. La hausse de salaire augmente l’utilité à 5 776. Si cela avait été obtenu en augmentent, à la place, le revenu, les heures de temps libre auraient changé de \(t_0=17\) à \(t_2=19\). L’effet de revenu est \(t_2-t_0=19-17=+2\).

4. Trouver l’effet de substitution

L’effet total de la hausse de salaire est de modifier le temps libre de \(t_0\) à \(t_1\). C’est la somme de l’effet de revenu (le changement de \(t_0\) à \(t_2\)) et de l’effet de substitution, qui est donc le changement de \(t_2\) à \(t_1\).

Effet de revenu	\(t_2-t_0=+2\)
Effet de substitution	\(t_1-t_2=-3,8\)
Effet total	\(t_1-t_0=-1,8\)

L’effet de substitution est l’effet sur le choix de temps libre de changer le salaire de 16 à 25, mais en ajustant le revenu pour garder l’utilité à un niveau constant de 4 624.

Pour en savoir plus : Sections 14.1, 17.1 et 17.3 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.