Leibniz 22.2.2

Wie die Regierung als Monopol die rentenmaximierende Höhe der Steuern festlegt

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

In unserem Modell der Steuersetzung durch eine regierende Person, die ein politisches Monopol ist, möchte sie die politischen Renten maximieren, die sie während ihrer Amtszeit erhält. Bei der Festlegung des Steuerniveaus ist sie jedoch durch die Dauerkurve eingeschränkt: Je höher das Steuerniveau in jedem Jahr ist, desto weniger zusätzliche Jahre im Amt können erwartet werden. Hier lösen wir das beschränkte Optimierungsproblem der regierenden Person mathematisch, um die optimale Steuerhöhe zu finden.

In Leibniz 22.2.1 haben wir einen Ausdruck für die Dauerkurve einer Diktatur abgeleitet, die aus Leistungsgründen (Festsetzung eines zu hohen Steuerniveaus) oder aus leistungsunabhängigen Gründen abgesetzt werden kann. Die erwartete Dauer \(D\) nimmt mit steigender Steuer \(T\) ab, sodass wir sagen können, dass die Dauer eine abnehmende Funktion der Steuer ist, die wir hier als \(D=f(T)\) schreiben.

Die Rente der regierenden Person, \(R\), hängt sowohl von \(D\) als auch von \(T\) ab. Die Kosten für die Bereitstellung der öffentlichen Dienste sind \(C\), also ist die jährliche politische Rente \(T - C\), und die erwartete Gesamtrente, die eine alleinherrschende Person mit der erwarteten Dauer \(D\) erzielt, ist:

\[R(D,\ T)=(T-C)D\]

Das beschränkte Optimierungsproblem der regierendebn Person lautet:

\[\text{maximiere }(T-C)D \text{ wobei }D=f(T)\]

Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir die Nebenbedingung, um \(D\) zu substituieren, sodass die Rente \((T-C)f(T)\) ist, und leiten dann nach \(T\) ab, um die Bedingung erster Ordnung zu erhalten:

\[f(T)+f'(T)(T-C)=0\]

Der erste Term ist der Grenznutzen der Erhöhung der Steuer um eine Einheit. Die regierende Person erhält eine zusätzliche Einheit Rente für die Dauer \(f(T)\) ihrer Herrschaftszeit. Der zweite Term ist negativ, weil es sich bei \(f(T)\) um eine abnehmende Funktion handelt. Der Term stellt die Grenzkosten für die regierende Person dar, die durch die Erhöhung der Rente entstehen, das heißt die Rente \(T-C\) wird für eine kürzere Periode erhalten.

Die optimale Steuerhöhe für die regierende Person \(T^*\) erfüllt diese Gleichung. Sobald wir \(T^*\) gefunden haben, können wir die entsprechende Dauer aus der Gleichung \(D^*=f(T^*)\) bestimmen. Wir werden dies im Folgenden an einem konkreten Beispiel demonstrieren.

Abbildung 22.6, die im Folgenden als Abbildung 1 dargestellt wird, veranschaulicht die Lösung des Optimierungsproblems.

Die Lösung \((D^*,\ T^*)\) befindet sich im Punkt B des Diagramms, wo die Dauerkurve tangential zu einer Isorentenkurve verläuft. Um zu zeigen, dass dieser Punkt derjenige ist, den wir oben mathematisch gefunden haben, können wir die Bedingung erster Ordnung so umstellen, dass sie wie folgt geschrieben wird:

\[-\frac{1}{f'(T)}=\frac{T-C}{D}\]

In dieser Form sagt die Bedingung erster Ordnung dasselbe aus wie das Diagramm: Bei B ist die Steigung der Dauerkurve gleich der Steigung der Isorentenkurve. Um dies zu sehen, können wir die beiden Steigungen berechnen:

• Wir haben die Dauerkurve als \(D^*=f(T^*)\) ausgedrückt, woraus folgt, dass \(dD/dT=f'(T)\) ist. In der Abbildung haben wir die Kurve aber mit \(T\) auf der vertikalen Achse gezeichnet, sodass die Steigung \(dT/dD= 1/f'(T)\) ist. Da \(f'(T)\) für alle \(T\) negativ ist, ist die linke Seite der Gleichung der absolute Wert der Steigung der Dauerkurve. Wir können sie als Grenzrate der Transformation (GRT) zwischen Besteuerung und Dauer interpretieren.
• Die Gleichung einer Isorentenkurve lautet \(R(D,\ T)=k\), wobei \(k\) eine Konstante ist. Um die Steigung zu berechnen, könnte man die in Leibniz 3.2.1 für Indifferenzkurven verwendete Methode anwenden. In diesem Fall ist es jedoch einfacher, die Isorentenkurve als \(T=C+k/D\) zu schreiben und dann zu differenzieren, um \(dT/dD=-k/D^2=-(T-C)/D\) zu erhalten. Die rechte Seite der obigen Gleichung ist also der absolute Wert der Steigung der Isorentenkurve, der als Grenzrate der Substitution (GRS) der regierenden Person zwischen Besteuerung und Dauer interpretiert werden kann.

Ein Beispiel

In der obigen Analyse haben wir uns nicht auf eine bestimmte Form der Dauerkurve festgelegt. Nehmen wir jedoch an, sie sei linear, wie in Abbildung 1 dargestellt. Ihre Gleichung kann dann als \(D=f(T)\) geschrieben werden, wobei

\[f(T)=D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C)\]

und \(s\) eine positive Konstante ist. Durch Differenzieren von \(f\) kann man nachweisen, dass \(s=-1/f'(T)\) ist, sodass \(s\) den absoluten Wert der Steigung der Linie in Abbildung 1 (GRT) darstellt. Mit dieser Dauerkurve wird die Bedingung erster Ordnung \(f(T)+f'(T)(T-C)=0\):

\[D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C) -\frac{1}{s}(T-C)=0\]

die gelöst werden kann, um folgendes zu erhalten:

\[T^*=C+\frac{s}{2} D^\text{max}\]

und, da \(D^*=f(T^*)\):

\[D^*= \frac{1}{2} D^\text{max}\]

Man beachte, dass die von der regierenden Person gewählte Höhe der Steuer höher ist, wenn die Dauerkurve steiler ist (das heißt wenn \(s\) größer ist). Dies ist vergleichbar mit einem gewinnmaximierenden Unternehmen, das einen höheren Preis festlegt, wenn die Nachfragekurve weniger elastisch (steiler) ist. In diesem Fall ist die entsprechende erwartete Dauer jedoch gleich, unabhängig von der Steigung \(s\) der Dauerkurve. Wir werden auf diesen Punkt in Leibniz 22.3.1 zurückkommen.