Leibniz 2.7.1
Die Produktionsfunktion
Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.
In unserem Modell einer Agrarwirtschaft zeigt die Produktionsfunktion, wie Getreideoutput vom Arbeitseinsatz abhängt—das heißt, von der Anzahl der Arbeitskräfte in der Landwirtschaft, die das Land bearbeiten. Im Folgenden zeigen wir, wie man die Produktionsfunktion mathematisch darstellen und ihre Eigenschaften beschreiben kann.
Die Produktionsfunktion für Getreide ist in Abbildung 1 grafisch dargestellt:
Abbildung 1 Die Produktionsfunktion der Arbeitskräfte in der Landwirtschaft: Abnehmendes Durchschnittsprodukt der Arbeit.
Wenn wir mit \(x\) den Arbeitseinsatz (Anzahl der Arbeitskräfte) und mit \(y\) die Menge des produzierten Getreides (in Kilogramm) angeben, können wir die Produktionsfunktion wie folgt schreiben:
\[y=f(x)\]\(f(.)\) kann eine beliebige Funktion sein, aber wenn sie eine Produktionsfunktion wie die in der Abbildung darstellen soll, muss sie bestimmte Eigenschaften haben. Zunächst können wir sehen, dass bei einem Arbeitseinsatz (Input) von null kein Getreide produziert wird, und dass bei einem Input von mehr als null die Getreidemenge streng positiv ist:
\[f(0)=0, \quad f(x)>0 \text{ wenn } x>0\]Zweitens ist die Funktion steigend, das heißt mit steigendem \(x\) steigt auch \(y\). Ihre Steigung, die durch die Ableitung der Funktion gegeben ist, ist also positiv. Wir können schreiben:
\[\frac{dy}{dx}>0\]oder äquivalent dazu:
\[f'(x)>0\]Diese beiden Eigenschaften sind typisch für die meisten Produktionsfunktionen. Eine weitere Eigenschaft der Produktionsfunktion in der Abbildung ist, dass sie mit steigendem \(x\) immer weniger steil wird. Das heißt, ihre Steigung \(\frac{dy}{dx}\) nimmt mit steigendem \(x\) ab, was bedeutet, dass ihre zweite Ableitung negativ ist:
\[\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^2y}{dx^2}<0\]oder äquivalent:
\[f''(x)<0\]Lesen Sie mehr dazu: Abschnitt 7.3 (insbesondere Seite 127) und Abschnitt 8.2 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.
