Leibniz 3.1.2

Abnehmende Grenzproduktivität

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Die Produktionsfunktion von Alexei hat die Eigenschaft der abnehmenden Grenzproduktivität. Wir können das grafisch sehen: Die Kurve wird flacher, wenn die Anzahl der täglichen Lernstunden steigt. Was bedeutet das für die mathematischen Eigenschaften der Produktionsfunktion?

Wenn die Produktionsfunktion \(y=f(h)\) lautet, ist das Grenzprodukt der Arbeit \(\frac{dy}{dh}=f'(h)\), das heißt, das Grenzprodukt der Arbeit nimmt mit steigendem \(h\) ab, wenn:

\[\frac{d}{dh}\left( \frac{dy}{dh} \right) = \frac{d^{2}y}{dh^{2}} < 0\]

oder äquivalent dazu:

\[f’’(h) \lt 0\]

Das heißt, die zweite Ableitung der Produktionsfunktion ist negativ.

Ein Beispiel

Betrachten Sie erneut die Produktionsfunktion:

\[y = Ah^\alpha\]

wobei \(A\) und \(\alpha\) solche Konstanten sind, dass \(A \gt 0\) und \(0 \lt \alpha \lt 1\). Wir haben in Leibniz 3.1.1 gezeigt, dass für diese Produktionsfunktion

\[\text{GPA} = \frac{dy}{dh} = \alpha Ah^{\alpha -1}\]

das so lange positiv ist, wie die Lernstunden \(h\) positiv sind. Wir wollen nun zeigen, dass dieses Grenzprodukt mit zunehmender Stundenzahl \(h\) immer kleiner wird.

Eine Möglichkeit, dies zu sehen, ist die Betrachtung des Ausdrucks

\[\alpha Ah^{\alpha -1}\]

\(h\) wird zur Potenz \(\alpha -1\) erhoben, die negativ ist, denn \(\alpha \lt 1\). Erinnern Sie sich an die Eigenschaften negativer Exponenten, die besagen, dass \(h^{\alpha -1}\) abnimmt, wenn \(h\) steigt, und da \(A\) und \(\alpha\) positiv sind, nimmt auch \(\alpha Ah^{\alpha -1}\), das Grenzprodukt der Arbeit, ab.

Alternativ können wir auch zeigen, dass das Grenzprodukt abnimmt, indem wir es ableiten:

\[\frac{d^2 y}{dh^2} = (\alpha -1)\alpha Ah^{\alpha -2}= \alpha(\alpha -1)\frac{Ah^\alpha}{h^2} =\alpha(\alpha -1)\frac{y}{h^2}\]

Wenn \(h\) positiv ist, wissen wir, dass \(y\) ebenfalls positiv ist. Wenn also \(0 \lt \alpha \lt 1\), \(\alpha(\alpha -1) \lt 0\), und so:

\[\frac{d^2 y}{dh^2} =\alpha(\alpha -1)\frac{y}{h^2} \lt 0\]

Das ist es, was wir zeigen wollten: Die zweite Ableitung der Produktionsfunktion ist negativ, das heißt, das Grenzprodukt fällt, wenn \(h\) steigt. Mit anderen Worten: Das Grenzprodukt der Arbeit nimmt ab.

In Leibniz 3.1.1 haben wir gezeigt, dass das Grenzprodukt kleiner ist als das Durchschnittsprodukt, wenn \(\alpha \lt 1\) ist. Diese Eigenschaft steht in engem Zusammenhang mit dem Konzept des abnehmenden Grenzprodukts: Wenn das Grenzprodukt einer Produktionsfunktion für alle Werte des Inputs abnehmend ist, dann gilt auch, dass das Grenzprodukt geringer ist als das Durchschnittsprodukt (GPA < DPA).

Abbildung 2 zeigt den Graphen der Produktionsfunktion \(y = Ah^\alpha\) für den Fall, dass \(\alpha =0,4\) und \(A=30\), zusammen mit dem Graphen des Grenzprodukts der Arbeit. Für jeden Wert von \(h\) zeigt das obere Diagramm den Wert von \(y\), und das untere Diagramm zeigt die Steigung der Produktionsfunktion, \(dy/dh\). Sie können sehen, dass das Grenzprodukt der Arbeit mit \(h\) abnimmt.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 6.4 und 8.4 von Pemberton und Rau (2016).