Leibniz 2.7.1 Função de Produção

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

No modelo de economia agrícola apresentado no capítulo 2, a função de produção mostra como a produção de cereais depende do insumo trabalho — isto é, do número de fazendeiros trabalhando na terra. Vamos demonstrar como representar a função de produção matematicamente e descrever suas propriedades.

A função de produção de cereal é representada graficamente na Figura 1:

Se \(x\) é a quantidade do insumo trabalho (número de agricultores) e \(y\) é a quantidade de cereal produzida (em quilogramas), podemos escrever a função de produção como:

\[y=f(x)\]

\(f(.)\) pode ser qualquer função, mas deve ter certas propriedades para representar uma função de produção como a da figura. Primeiro, podemos observar que não há produção de cereal quando a quantidade de insumo é zero, e, se o insumo é maior que zero, a quantidade de cereal produzida é estritamente positiva:

\[f(0)=0, \quad f(x)>0 \text{ if } x>0\]

Segundo, podemos notar que a função é crescente: isto é, se \(x\) aumenta, \(y\) também aumenta. Então sua inclinação, dada pela derivada da função, é positiva. Podemos escrever:

\[\frac{dy}{dx}>0\]

ou, de maneira equivalente:

\[f'(x)>0\]

Estas duas propriedades são típicas da maioria das funções de produção. Outra propriedade da função na figura é se tornar gradualmente mais plana à medida que \(x\) aumenta, o que é o mesmo que dizer que a inclinação da função, \(\frac{dy}{dx}\), diminui à medida que \(x\) aumenta. A diminuição da inclinação significa que a segunda derivada da função é negativa:

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^2y}{dx^2}<0\]

o que é equivalente a:

\[f''(x)<0\]

Leia mais: Seção 7.3 (especialmente página 127) e Seção 8.2 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.