Leibniz 3.1.2 Produtividade marginal decrescente

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

A função de produção de Alexei tem como propriedade a produtividade marginal decrescente. Podemos observá-la graficamente: a curva se torna mais plana à medida que as horas de estudo por dia aumentam. O que isso significa em relação às propriedades matemáticas da função de produção?

Se a função de produção é \(y=f(h)\), o produto marginal do trabalho é \(\frac{dy}{dh}=f’(h)\), então o produto marginal do trabalho diminui à medida que \(h\) aumenta se:

\[\frac{d}{dh}\left( \frac{dy}{dh} \right) = \frac{d^{2}y}{dh^{2}} < 0\]

ou, de modo equivalente:

\[f’’(h) \lt 0\]

Isto é, a segunda derivada da função de produção é negativa.

Exemplo

Considere novamente a função de produção:

\[y = Ah^\alpha\]

em que \(A\) e \(\alpha\) são constantes tais que \(A \gt 0\) e \(0 \lt \alpha \lt 1\). No Leibniz 3.1.1, mostramos que, para esta função de produção:

\[\text{PMgT} = \frac{dy}{dh} = \alpha Ah^{\alpha -1}\]

que é positivo desde que as horas de estudo \(h\) sejam positivas. O que vamos mostrar a seguir é que, à medida que as horas \(h\) aumentam, este produto marginal passa a ser cada vez menor.

Uma maneira de verificar isto é analisando a expressão

\[\alpha Ah^{\alpha -1}\]

\(h\) é elevado ao expoente \(\alpha -1\), que é negativo, uma vez que \(\alpha \lt 1\). Lembre-se que, pelas propriedades dos expoentes negativos, à medida que \(h\) aumenta, \(h^{\alpha -1}\) diminui, e como \(A\) e \(\alpha\) são positivos, \(\alpha Ah^{\alpha -1}\) também é , sendo esse o produto marginal do trabalho.

Por outro lado, podemos mostrar que o produto marginal é decrescente ao diferenciá-lo:

\[\frac{d^2 y}{dh^2} = (\alpha -1)\alpha Ah^{\alpha -2}= \alpha(\alpha -1)\frac{Ah^\alpha}{h^2} =\alpha(\alpha -1)\frac{y}{h^2}\]

Quando \(h\) é positivo, sabemos que \(y\) também é positivo. Então, quando \(0 \lt \alpha \lt 1\), \(\alpha(\alpha -1) \lt 0\), e portanto:

\[\frac{d^2 y}{dh^2} =\alpha(\alpha -1)\frac{y}{h^2} \lt 0\]

É isto que queríamos mostrar: a segunda derivada da função de produção é negativa, então o produto marginal cai à medida que \(h\) aumenta. Em outras palavras, o produto marginal do trabalho é decrescente.

No Leibniz 3.1.1, mostramos que, quando \(\alpha \lt 1\), o produto marginal é menor do que o produto médio. Esta é uma propriedade intimamente relacionada ao conceito de produto marginal decrescente: se o produto marginal de uma função de produção é decrescente para todas as quantidades de insumos, então também é verdade que o produto marginal é menor do que o produto médio (PMg < PMe).

A Figura 2 mostra o gráfico da função de produção \(y = Ah^\alpha\) para o caso em que \(\alpha =0,4\) e \(A=30\), e também o gráfico do produto marginal do trabalho. Para cada valor de \(h\), o gráfico superior mostra o valor de \(y\), e o gráfico inferior mostra o valor da inclinação da função de produção, \(dy/dh\). Você pode observar que o produto marginal do trabalho diminui à medida que \(h\) aumenta.

Leia mais: Seções 6.4 e 8.4 de Pemberton e Rau (2016).