Leibniz 2.2.1 Leibniz-osiot
Leibniz-osiot valaisevat, miten talousmalleissa voi käyttää edistyneempää matematiikkaa, etenkin differentiaali- ja integraalilaskentaa. Tämän aineiston mallien ymmärtäminen ei vaadi Leibniz-osioihin perehtymistä, mutta niistä voi olla apua taloustieteen jatkokursseilla tai matematiikan kursseilla. Tässä ensimmäisessä Leibniz-osiossa selitämme nimen taustaa ja esittelemme yleisiä merkintätapoja.
Kuka keksi differentiaali- ja integraalilaskennan?
Ehkä kaikkien aikojen kuuluisin tiedekiista on käyty siitä, keksikö differentiaali- ja integraalilaskennan Sir Isaac Newton vai Gottfried Leibniz.
Isaac Newton
Muotokuva: Sir Godfrey Kneller, Wikipedia/Wikimedia Commons
Sir Isaac Newton (1642–1726) oli englantilainen matemaatikko ja fyysikko. Häntä pidetään yhtenä maailman kaikkien aikojen vaikutusvaltaisimmista tiedemiehistä. Hän keksi differentiaali- ja integraalilaskennan lisäksi painovoiman lain, loi perustan klassiselle mekaniikalle, kehitti valo-oppia ja muotoili jäähtymislain. Newton toimi Kuninkaallisen rahapajan johtajana kolmen hallitsijan aikana ja perusti kultakannan, joka oli kansainvälisen rahajärjestelmän ydin lähes 200 vuotta.
Newton käytti differentiaali- ja integraalilaskennan metodeja ensimmäistä kertaa vuonna 1666 julkaistussa käsikirjoituksessa. Hän käytti metodeja teoksessaan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (“Luonnonfilosofian matemaattiset perusteet”), joka julkaistiin vuonna 1667. Päätutkielmansa Methodus fluxionum Newton sai valmiiksi vuonna 1671, mutta teos julkaistiin vasta 1736.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Muotokuva: Andreas Scheits, Wikipedia/Wikimedia Commons
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716) oli saksalainen matemaatikko ja filosofi. Hän käytti integraalilaskentaa vuonna 1675 käyrän alapuolisen alan määrittämisessä ja esitteli siinä yhteydessä vieläkin käytössä olevat lyhenteet: integraalimerkki \(\int\) ja differentiaalimerkki \(d\). Filosofina Leibniz keskittyi Théodicée-tutkielmassa esittämäänsä optimismin periaatteeseen, jonka mukaan Jumala oli luonut kaikista mahdollisista maailmoista parhaan. Voltaire pilkkasi tutkielmaa romaanissaan Candide.
Newtonin kannattajat syyttivät Leibnizia Newtonin tuotannon plagioinnista. Leibniz kuoli köyhänä ja maineensa menettäneenä. Sittemmin sekä matemaatikot että filosofit ovat palauttaneet hänen maineensa.
Nykyiset historiantutkijat katsovat, että Newton ja Leibniz keksivät integraalilaskennan itsenäisesti ja samoihin aikoihin. Siksi heitimme kolikkoa siitä, kumpi saa nimensä matematiikkaosioiden otsikkoon. Leibniz vei voiton.
Merkintätavat
Monissa Leibniz-osioissa on suosituksia lisälukemiseksi. Useimmiten suosituksena on tämä teos: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos. Manchester: Manchester University Press.
Yhden muuttujan funktiot
| \(y = f(x)\) | yhden muuttujan funktio, jossa \(x\) on argumentti ja \(y\) funktion arvo |
| \(\dfrac{dy}{dx}\) | funktion \(f(x)\) ensimmäinen derivaatta |
| \(f'( x)\) | vaihtoehtoinen merkintätapa funktion \(f(x)\) ensimmäiselle derivaatalle |
| \(\dfrac{d^2 y}{dx^2}\) | funktion \(f(x)\) toinen derivaatta |
| \(f''( x)\) | funktion \(f(x)\) toisen derivaatan vaihtoehtoinen merkintätapa |
Integraalilaskenta
| \(y = f(x)\) | yhden muuttujan funktio, jossa \(x\) on argumentti ja \(y\) funktion arvo |
| \(\int f(x) \, dx\) | funktion \(f(x)\) määräämätön integraali |
| \(\int _a^b f(x) \, dx\) | funktion \(f(x)\) määrätty integraali välillä \(a\)–\(b\) |
Kahden muuttujan funktiot
| \(y = f (x,\ z)\) | kahden muuttujan funktio, jossa \(x\) ja \(z\) ovat argumentteja ja \(y\) on funktion arvo |
| \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \text{ tai }\dfrac{\partial y}{\partial x}\) | funktion \(f\) osittaisderivaatta muuttujan \(x\) suhteen, muuttuja \(z\) pidetään vakiona |
| \(\dfrac{\partial f}{\partial z}\text{ tai }\dfrac{\partial y}{\partial z}\) | funktion \(f\) osittaisderivaatta muuttujan \(z\) suhteen, muuttuja \(x\) pidetään vakiona |
| \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\) | funktion \(f\) toinen derivaatta muuttujan \(x\) suhteen, muuttuja \(z\) pidetään vakiona |
| \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\) | funktion \(f\) toinen derivaatta muuttujan \(z\) suhteen, muuttuja \(x\) pidetään vakiona |
| \(\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\) | ristikkäisderivaatta; osittaisderivaatan \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) ensimmäinen derivaatta muuttujan \(z\) suhteen |
| \(\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)\) | ristikkäisderivaatta; osittaisderivaatan \(\dfrac{\partial f}{\partial z}\) ensimmäinen derivaatta muuttujan \(x\) suhteen |
| \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z} \text{ tai }\dfrac{\partial^2 f}{\partial z \, \partial x}\) | ristikkäisderivaatta, kun funktiot \(\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\) ja \(\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)\) ovat yhtä suuria |
