Leibniz 3.5.1 Alocação ótima de tempo livre: TMT encontra TMS

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Alexei gostaria de obter a maior nota final possível enquanto sacrifica o mínimo de tempo livre possível. Utilizando diagramas, vimos que ele maximiza sua utilidade ao escolher o ponto em que uma curva de indiferença é tangencial à fronteira de possibilidades, no qual a taxa marginal de substituição (TMS) é igual à taxa marginal de transformação (TMT). Neste Leibniz, mostramos como representar matematicamente a decisão de Alexei, como um problema de otimização restrita, e resolvê-lo para encontrar a combinação ótima de nota final e tempo livre.

A escolha ótima de tempo livre e nota final no caso de Alexei é ilustrada na Figura 1 abaixo, que reúne seu conjunto de possibilidades e suas curvas de indiferença. A otimização é atingida no ponto E sobre a fronteira de possibilidades, no qual a inclinação é igual à da curva de indiferença.

A função de utilidade de Alexei é \(U(t,\ y)\). Sua utilidade depende positivamente das horas de tempo livre t e da nota final y. Ele deseja maximizar sua utilidade dada a restrição imposta por seu conjunto factível de notas e tempo livre. Como no Leibniz 3.4.1, se sua função de produção é \(y=f(h)\), em que h representa as horas de estudo, a equação da fronteira de possibilidades é:

\[y = f(24 - t)\]

Assim, o problema de Alexei é escolher t e y que maximizem \(U(t,\ y)\) sujeita à restrição \(y=f(24 - t)\).

problema de otimização com restrição

Problema em que um tomador de decisão escolhe os valores de uma ou mais variáveis para atingir um objetivo (por exemplo, maximizar lucro) sujeito a uma restrição que determina o conjunto de possibilidades (a curva de demanda, por exemplo, pode restringir a maximização de lucro).

Este é um exemplo do que é conhecido em matemática como problema de otimização com restrição. Neste tipo de problema, a restrição às vezes é escrita como uma desigualdade: \(y \leq f(24 - t)\), que pode ser interpretada como uma afirmação de que a escolha deve pertencer ao conjunto de possibilidades. Porém, como sua utilidade depende positivamente de t e y, sabemos que Alexei desejará escolher um ponto que está sobre a fronteira. Portanto, podemos escrever a restrição como uma igualdade, o que torna o problema matematicamente mais fácil de resolver.

Uma forma de resolver o problema de Alexei é substituir y pela restrição na função de utilidade, deixando-a em termos de t. Assim, a utilidade passa a ser uma função de apenas uma variável, t:

\[U(t,\ y) = U(t,\ f\left( 24 - t \right))\]

que pode ser maximizada em relação a t ao igualarmos sua derivada a zero. Esta derivada é a derivada total da utilidade em relação a t, que pode ser calculada da forma mais comum, a regra da cadeia:

\[\frac{dU}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial U}{\partial y} \frac{dy}{dt}\]

O termo \(\dfrac{dy}{dt}\), do lado direito, é calculado ao diferenciar a função de produção \(y= f(24- t)\):

\[\frac{dy}{dt} = -f'(24- t)\]

pela regra da cadeia, então:

\[\frac{dU}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{\partial U}{\partial y} f'(24 - t)\]

Esta equação afirma que, à medida que nos movemos ao longo da fronteira de possibilidades na direção de t crescente, o efeito líquido sobre a utilidade é resultado do efeito direto de mais tempo livre, que obviamente é positivo, e do efeito indireto negativo de uma menor nota final.

No ponto que soluciona o problema de maximização de Alexei, \(\dfrac{dU}{dt}=0\). Então, neste ponto:

\[\frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\partial U}{\partial y} f'(24- t)\]

Esta equação tem uma interpretação óbvia em termos dos dois efeitos sobre a utilidade mencionados no parágrafo anterior: no ponto ótimo, o efeito positivo de um pouco mais de tempo e o efeito negativo de uma nota ligeiramente menor contrabalançam um ao outro.

Rearranjando a última equação, vemos que:

\[f'\left( 24 - t \right) = \frac{\frac{\partial U}{\partial t}}{\frac{\partial U}{\partial y}}\]

no ponto ótimo. O lado esquerdo nos dá o valor absoluto da inclinação da curva da fronteira de possibilidades, que chamamos de taxa marginal de transformação (TMT) no Leibniz 3.4.1. Como vimos no Leibniz 3.2.1, o lado direito é o valor absoluto da inclinação da curva de indiferença, que chamamos de taxa marginal de substituição (TMS). Assim, no ponto ótimo, as inclinações se igualam, como mostra a Figura 1. Em outras palavras,

\[\text{TMT}=\text{TMS}\]

Esta equação é conhecida como condição de otimização de primeira ordem, uma vez que foi obtida ao igualar a primeira derivada (neste caso, a derivada total \(\frac{dU}{dt}\)) a zero. Como grande parte da ciência econômica está relacionada a otimização restrita, você encontrará condições semelhantes nos próximos suplementos Leibniz.

Lembre-se de que queremos encontrar os valores de t e y que maximizam a utilidade de Alexei. Até agora, mostramos que os valores de t e y que estamos procurando devem satisfazer a condição de primeira ordem. Para resolver completamente o problema e encontrar os valores ótimos, precisamos observar também que os valores devem estar sobre a fronteira de possibilidades. Sendo assim, temos um par de equações simultâneas:

\[f'\left( 24 - t \right) = \frac{\frac{\partial U}{\partial t}}{\frac{\partial U}{\partial y}}\] \[y = f(24 - t)\]

que devem ser satisfeitas para t e y. Na próxima seção, iremos derivar essas equações para funções de utilidade e de produção específicas e resolver o problema, encontrando os valores ótimos de t e y.

Leia mais: Seções 8.1 a 8.3 para maximização, e Seção 14.2 para entender a diferença entre derivação total e parcial, de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.

Alocação ótima de tempo livre: um exemplo

Vamos ilustrar os princípios da seção anterior com funções de produção e de utilidade específicas.

restrição orçamentária

Equação que representa todas as combinações de bens e serviços que se pode adquirir ao utilizar todos os recursos orçamentários disponíveis.

O problema de otimização restrita tem duas partes: a função objetivo, que descreve a utilidade que Alexei deseja maximizar, e a restrição, que neste caso é a função de produção de nota final.

Como no Leibniz 3.2.1, assumimos que Alexei tem uma função de utilidade de Cobb-Douglas:

\[U (t,\ y)= t^a y^b\]

em que a e b são constantes positivas. (Usamos a e b ao invés de \(\alpha\) e \(\beta\) porque \(\alpha\) será usado na função de produção).

Como no Leibniz 3.1.1, assumimos que a relação que descreve como Alexei transforma horas de estudo h em nota final y é

\[y = Ah^{\alpha}\]

em que A e \(\alpha\) são constantes positivas e \(\alpha \lt 1\). Além disso, assim como antes, podemos escrever esta função de produção em termos de horas de tempo livre t, já que \(h = 24 -t\). Reescrevendo a função e assumindo, por simplicidade, que \(A=1\), vemos que:

\[y = {(24 - t)}^{\alpha}\]

Esta é a equação da fronteira de possibilidades.

O problema de Alexei é escolher t e y para maximizar \(t^a y^b\) sujeita à restrição:

\[y = \left(24- t \right)^\alpha\]

A seção anterior nos fornece duas formas de resolver este problema: podemos utilizar o método de substituição ou aplicar a fórmula. Vamos demonstrar ambas e verificar que elas nos dão a mesma resposta.

Aplicando a fórmula

“Fórmula” é como nos referimos à condição de primeira ordem \(\text{TMT} = \text{TMS}\). Sabemos que a solução para o problema deve satisfazer esta condição, então calculamos a TMT a partir da fronteira de possibilidades, e a TMS, a partir da função de utilidade, e as igualamos.

Como vimos no Leibniz 3.4.1, a TMT é o valor absoluto da inclinação da fronteira de possibilidades. Utilizando a equação da fronteira de possibilidades que vimos acima:

\[\text{TMT} = \left|\frac{dy}{dt}\right| = \alpha \left( 24 - t \right)^{\alpha -1} = \frac{\alpha y}{ 24 - t}\]

Também mostramos, no Leibniz 3.2.1, que a TMS é a razão entre as utilidades marginais, que encontramos ao diferenciar a função de utilidade:

\[\frac{\partial U}{\partial t} = at^{a - 1}y^{b}\] \[\frac{\partial U}{\partial y} = bt^{a}y^{b - 1}\]

Logo, a TMS é dada por:

\[\text{TMS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \frac{a y}{b t}\]

Igualando TMT e TMS e multiplicando os dois lados por \(\frac{t}{y}\), temos

\[\frac{\alpha t}{24 - t} = \frac{a}{b}\]

Resolvendo esta equação para t, temos \(t = \frac{24}{(1+c)}\), em que \(c=\frac{\alpha b}{a}\). Substituindo este resultado na função de produção, chegamos à solução completa do problema de Alexei:

\[t = \frac{24}{1+c}, \; \; y = \left(\frac{24c }{1+c} \right)^\alpha, \, \text{em que}\ c=\frac{\alpha b}{a}\]

Esses são os valores de t e y que dão a Alexei a maior utilidade possível dado o seu conjunto de possibilidades.

Usando o método de substituição

Este método consiste em substituir a restrição na função objetivo para torná-la uma função de apenas uma variável, e então maximizar a função obtida. Substituir a restrição \(y = \left(24- t \right)^\alpha\) na função de utilidade nos dá uma expressão de utilidade em função apenas da variável t:

\[U = t^a \left(24 - t \right)^{\alpha b}\]

Para maximizar U, calculamos \(dU/dt\) e a igualamos a zero. Utilizando a regra do produto:

\[\frac{dU}{dt} = a t^{a-1}(24 - t )^{\alpha b} - \alpha b t^a (24- t )^{\alpha b-1}\]

Como ocorre na análise geral da seção anterior, esta equação expressa o efeito líquido de um aumento em t sobre a utilidade como sendo resultado de um efeito direto positivo e do efeito negativo de uma nota final menor.

Igualando \(dU/dt\) a zero e dividindo a equação resultante por \(t^{a-1}(24 - t )^{\alpha b}\), vemos que \(a = \frac{\alpha b t}{24 – t}\). Rearranjando, temos:

\[\frac{\alpha t}{24 - t} = \frac{a}{b}\]

Essa é a mesma equação para t que obtivemos ao utilizar \(\text{TMT} = \text{TMS}\), e o restante da solução também é o mesmo.

Leia mais: Seções 8.1 a 8.3 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.