Leibniz 3.6.1 Modelando o avanço tecnológico

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Para uma fazendeira como Ângela, ocorre um avanço tecnológico quando ela consegue colher mais grãos com a mesma quantidade de trabalho. Matematicamente, podemos elaborar um modelo do avanço tecnológico ao representá-lo como uma mudança nos parâmetros da função de produção.

No texto, ilustramos o progresso tecnológico com a Figura 3.1.2, reproduzida abaixo como Figura 1. A função de produção de Ângela se desloca para cima porque ela passa a ter a capacidade de produzir mais grãos por hora de trabalho.

A função de produção com que temos trabalhado até agora (especialmente no Leibniz 3.1.2) é:

\[y = Ah^\alpha\]

Neste exemplo, \(h\) indica as horas diárias de trabalho de Ângela em sua fazenda, e \(y\), sua produção diária de grãos. \(A\) e \(\alpha\) são dois parâmetros que descrevem o formato específico e a posição da função de produção de Ângela. Assumimos que \(A \gt 0\) e \(0 \lt \alpha \lt 1\). A primeira premissa significa apenas que o trabalho leva a produzir, e não a destruir grãos. A segunda premissa impõe que o produto marginal do trabalho seja decrescente, de modo que a função de produção tenha um formato côncavo.

O progresso tecnológico torna possível produzir mais com a mesma quantidade de insumos: a função de produção passa a atribuir uma maior quantidade de grãos ao mesmo número de horas de trabalho. Matematicamente, há duas formas de alcançar este resultado com a função de produção de Ângela.

Se \(A\) aumenta, então o produto também aumenta seja qual for o nível de horas de trabalho. Logo, um aumento em \(A\) pode ser interpretado como progresso tecnológico.

Se \(\alpha\) aumenta, então o produto diminui se \(0 \lt h \lt 1\), e aumenta se \(h \gt 1\). Se interpretarmos a unidade de medida de \(h\) como literalmente uma hora, então podemos afirmar que \(h \gt 1\), de modo que um aumento em \(\alpha\) também pode ser interpretado como progresso tecnológico.

As duas formas diferentes de representar o avanço tecnológico no modelo são ilustradas nos dois painéis da Figura 2. No painel à esquerda, um aumento em \(A\) aumenta \(y\) em um mesmo múltiplo a cada valor de \(h\). Por exemplo, se \(\alpha=\frac{1}{2}\) e \(A\) aumenta de \(1\) a \(2\), então \(y\) passa de \(\sqrt{h}\) para \(2\sqrt{h}\), um aumento de 100% no produto para qualquer quantidade de trabalho. No painel à direita, um aumento em \(\alpha\), com \(A\) mantida constante, aumenta \(y\) a qualquer \(h\gt1\): se, por exemplo, \(A = 1\), \(h=8\) e \(\alpha\) aumenta de \(\frac{1}{3}\) para \(\frac{1}{2}\), então a produção diária de grãos aumenta de \(2\) para \(2\sqrt{2}\) unidades, o que significa um acréscimo ligeiramente acima de 40% na produção de grãos de Ângela.

Os dois painéis da Figura 2 mostram que um aumento em \(A\) e \(\alpha\) tem efeitos semelhantes mas não idênticos. O parâmetro \(\alpha\) determina a curvatura da função. Quando \(\alpha\lt1\), como assumimos neste caso, a função é côncava; mas se \(\alpha=1\) é uma linha reta, e se \(\alpha\gt1\), a função é convexa. Se \(\alpha\) é inicialmente menor que 1 e depois aumenta em uma pequena quantidade, a curva se torna menos côncava. O significado econômico desta mudança é que, se Ângela aumenta suas horas diárias de trabalho, os retornos marginais decrescentes têm uma ação mais lenta do que teriam a um menor valor de \(\alpha\).

De fato, se \(\alpha\) continuasse a crescer, tornando-se igual e depois maior do que \(1\), retornos decrescentes não mais se aplicariam a esta função. Isto sugere que a modelagem do progresso tecnológico como um aumento em \(\alpha\) é problemática por uma razão mais profunda do que a listada acima em relação ao que acontece se \(h\lt1\). A humanidade vem experimentando avanços tecnológicos há séculos, e mesmo assim, ainda estamos sujeitos a retornos decrescentes de nosso trabalho. Assumir que o progresso tecnológico pode nos libertar da concavidade da função de produção simplesmente não é muito plausível.

A modelagem do progresso tecnológico como mudança em \(A\) evita este problema. Neste caso, \(y\) aumenta dado qualquer \(h\gt0\) e a função de produção permanece côncava. A propriedade do produto marginal decrescente continua válida. Este é o motivo pelo qual os economistas normalmente utilizam \(A\) e não \(\alpha\) para representar o progresso tecnológico nos modelos.

É possível representar o progresso tecnológico da mesma forma qualquer que seja a função de produção. Suponha que a função de produção seja dada por:

\[y=Af(h)\]

em que \(f\) representa qualquer função côncava crescente com valores positivos para todo \(h\gt0\). Então, um aumento no parâmetro \(A\) implica que o produto aumente na mesma proporção para todo nível de \(h\).

Neste caso geral, a propriedade do produto marginal decrescente sob progresso tecnológico também é preservada. O produto marginal do trabalho (PMgT) é \(Af'(h)\). Então, se as horas de trabalho variam de \(h_0\) para \(h_1\), a mudança proporcional no PMgT é:

\[\frac{Af'(h_1) - Af'(h_0)}{Af'(h_0)} = \frac{f'(h_1) - f'(h_0)}{f'(h_0)}\]

que não depende de \(A\). Portanto, se \(A\) aumenta, não há efeito sobre a queda proporcional no PMgT causada por um aumento nas horas de trabalho.

Leia mais: Seções 4.3 e 7.3 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.