Leibniz 7.5.1
O preço maximizador de lucros
Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.
Para maximizar seu lucro, a Belos Carros escolhe um ponto no qual sua curva isolucro tangencia sua curva de demanda. Vimos isso em um diagrama e, neste Leibniz, vamos provar que o ponto de tangência é ótimo resolvendo matematicamente o problema de maximização de lucro.
A curva de demanda por Belos Carros é inclinada para baixo. Quando escolhem o preço, os gerentes da firma sabem que quanto mais carros produzirem, mais baixo deve ser o preço para que consigam vendê-los. No texto, representamos a curva de demanda como uma linha reta inclinada para baixo, mas, na realidade, é pouco provável que seja reta. Aqui vamos expressá-la por uma função mais generalista. O preço máximo \(P\) ao qual \(Q\) carros podem ser vendidos é dado por:
\[P=f(Q)\]onde \(f\) é uma função estritamente decrescente (\(f'(Q)\lt0\)). Quando escrevemos a relação de demanda assim, com o preço em função da quantidade, chamamos \(f\) de função de demanda inversa. Quando é escrita de modo inverso, com a quantidade em função do preço, a função de demanda é chamada de função de demanda.
O lucro da Belos Carros, \(\Pi\), é igual a sua receita total menos seu custo total:
\[\Pi = PQ - C(Q)\]A companhia deseja estabelecer o preço e a quantidade que maximizam seu lucro, sujeitos à restrição de que os consumidores estejam dispostos a pagar o preço escolhido. Portanto, seu problema é:
\[\begin{align*}\text{escolher }Q \text{ e } P \text{ para maximizar }PQ - C(Q) \text{ sujeito a }P = f(Q)\end{align*}\]A forma mais simples de resolver esse problema de otimização é pelo método de substituição. Utilizamos a restrição para substituir \(P\), dado que lucro é função apenas de \(Q\):
\[\Pi= Qf(Q) - C(Q)\]Para encontrar o valor de \(Q\) que maximiza essa função, diferenciamos em relação a \(Q\) (usando a regra de derivada do produto, \(\dfrac{d}{dQ}(Qf(Q)) =\) \(f(Q) + Qf'(Q)\)):
\[\frac{d\Pi}{dQ} = f(Q) + Qf'(Q) - C'(Q)\]A condição de primeira ordem para otimização é \(d\Pi/dQ = 0\), que pode ser rearranjada da seguinte forma:
\[f'(Q)= \frac{C'(Q) - f(Q)}{Q}\]A quantidade maximizadora de lucro, \(Q^*\), satisfaz essa equação. Se conhecêssemos a forma específica das funções \(f(Q)\) e \(C(Q)\), poderíamos tentar resolver a equação para encontrar \(Q^*\) explicitamente. O preço maximizador de lucro poderia então ser calculado como \(P^*=f(Q^*)\).
Porém, sem conhecer as funções, ainda podemos interpretar essa condição de primeira ordem. Sabemos que o valor ótimo de \(Q\) está sobre a curva de demanda, então \(f(Q) = P\), e que \(C'(Q)\) é o custo marginal (CMg). Então a condição de primeira ordem pode ser escrita como:
\[f'(Q)= \frac{C'(Q) - f(Q)}{Q}\]O lado esquerdo desta equação é a inclinação da curva de demanda. No Leibniz 7.4.1, mostramos que o lado direito é a inclinação da curva isolucro. Logo, a condição de primeira ordem nos diz precisamente que a escolha maximizadora de lucro está em um ponto de tangência entre as curvas isolucro e de demanda. Para a Belos Carros, este é o ponto E na Figura 7.11, reproduzida abaixo como Figura 1.
Figura 1 A escolha de preço e quantidade que maximiza os lucros da Belos Carros.
Observe que o lado esquerdo da condição de primeira ordem, \(f'(Q)\), é negativo, então o lado direito também deve ser negativo. O ponto de maximização de lucro está na parte inclinada para baixo da curva isolucro, onde o preço excede o custo marginal.
Leia mais: Seções 6.4, 7.4, e 8.1 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.
