Leibniz 5.4.2 A escolha de horas de trabalho de Ângela

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Ângela tem preferências quasilineares em relação a tempo de trabalho e cereal. Neste Leibniz, analisamos as escolhas que ela faz como agricultora independente. Ela escolhe suas horas de trabalho para maximizar sua utilidade, sendo que, por meio de sua função de produção, a quantidade de cereal produzida depende de quanto ela trabalha.

Ângela é uma agricultora que divide seu dia entre trabalho e tempo livre. Seu trabalho produz cereal, bem que ela também consome. Suas horas diárias de tempo livre são denotadas por \(t\), e o número de alqueires de cereal que consome por dia é dado por \(c\). Assumimos que Ângela tem preferências quasilineares representadas, assim como no Leibniz 5.4.1, pela função de utilidade:

\[U(t,\ c) = v(t) + c\]

onde a função \(v\) é crescente e côncava. Lembre-se que a taxa marginal de substituição (TMS) da agricultora é \(v'(t)\).

Suponha que a quantidade de cereal \(c\) que Ângela pode produzir e consumir por dia em função de seu tempo livre \(t\) seja:

\[c=g(t)\]

Em outras palavras, esta é sua fronteira de possibilidades. Observe que a notação é ligeiramente diferente da que usamos antes. Anteriormente, começamos com a função de produção \(f(h)\), que relaciona produto com horas de trabalho, de modo que a fronteira de possibilidades foi escrita como \(c=f(24-t)\).

Uma vez que a fronteira de possibilidades deve ser inclinada para baixo, sabemos que \(g'(t)\lt0\). O valor absoluto da inclinação da fronteira, ou taxa marginal de transformação (TMT), é \(-g'(t)\). Para que a fronteira tenha o típico formato côncavo determinado pelos retornos marginais decrescentes das horas de trabalho, precisamos que \(g''(t)\lt0\).

O problema de otimização com restrição que Ângela deve resolver é escolher \(t\) e \(c\) para maximizar a função \(v(t) + c\), sujeita à restrição \(c =g(t)\).

A condição de primeira ordem para problemas de otimização pode ser encontrada aplicando a fórmula usual \(\text{TMT}=\text{TMS}\) (relembre o Leibniz 3.5.1) ou por substituição, que nesse caso significa escolher \(t\) para maximizar \(v(t) + g(t)\). De qualquer forma, obtemos a equação:

\[v'(t) + g'(t)=0\]

Uma vez que \(v''(t)\) e \(g''(t)\) são ambos negativos, o lado esquerdo é uma função decrescente de \(t\). Podemos deduzir que existe apenas um valor de \(t\) que satisfaz esta equação. Esta é a escolha ótima de tempo livre de Ângela, que chamaremos de \(t^*\). A produção e o consumo ótimos são encontrados a partir da fronteira de possibilidades: \(c^* = g(t^*)\). Esta alocação ótima é representada pelo ponto P na Figura 1 abaixo. A curva azul é uma curva de indiferença e a curva vermelha é a fronteira de possibilidades de Ângela.

Exemplo

Vamos ilustrar a análise acima utilizando funções de utilidade e de produção específicas. Suponha que, na função de utilidade quasilinear de Ângela \(U(t,\ c) = v(t) + c ,\) a função \(v(t)\) seja dada por:

\[v(t) = 4\sqrt{t}\]

Este é um caso particular do exemplo de utilidade quasilinear que descrevemos no Leibniz 5.4.1: \(U(t,\ c)= b t^\alpha+c\), onde \(b=4\) e \(\alpha= 1/2\).

Além disso, assuma que a função de produção de Ângela seja \(y=2\sqrt{2h}\), onde \(h\) são suas horas de trabalho. Se ela tem \(24\) horas por dia para alocar entre trabalho e tempo livre, então \(h + t =24\), e a equação da sua fronteira de possibilidades é \(y=g(t) ,\) onde:

\[g(t) = 2\sqrt{48 -2t}\]

Você pode verificar que a fronteira de possibilidades é côncava (\(g'(t)\lt0\)) e inclinada para baixo (\(g''(t)\lt0\)).

Como vimos acima, podemos encontrar as taxas marginais de transformação e de substituição a partir das derivadas de \(g\) e \(v\):

\[\text{TMT} = -g'(t) = \frac{2}{\sqrt{48 -2t}}, \quad \text{TMS} = v'(t) = \frac{2}{\sqrt{t}}\]

\(\\\\\)Na alocação ótima, \(\text{TMT} = \text{TMS}\), então \(48 -2t = t\). Assim, Ângela escolhe ter \(16\) horas de tempo livre por dia e trabalhar \(8\) horas. Pela função de produção, seu consumo diário de cereal é de \(2\sqrt{2 \times 8} = 8\) alqueires.

Leia mais: Seções 17.1 a 17.3 de Malcolm Pemberton e Nicholaus Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.