Leibniz 7.8.1

A elasticidade da demanda

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

A elasticidade-preço da demanda mede a sensibilidade da quantidade demandada ao preço: nos diz a variação percentual na quantidade demandada quando o preço varia em 1%. Neste Leibniz, definimos a elasticidade usando cálculo, e mostramos como as decisões de preço de uma firma dependem da elasticidade da demanda com que se depara.

Há duas formas de escrever uma função de demanda. Anteriormente, descrevemos a demanda por Belos Carros usando a função de demanda inversa:

\[P = f(Q)\]

onde \(f(Q)\) é o preço ao qual a firma pode vender exatamente \(Q\) carros. Para definir a elasticidade, é mais conveniente escrever a função de demanda em sua forma direta:

\[Q = g(P)\]

\(g(P)\) é a quantidade de Belos Carros demandada se o preço é \(P\). (A função \(g\) é a função inversa de \(f\); matematicamente, podemos escrever \(g(P)=f^{-1}(P)\).)

A derivada da função de demanda é \(dQ/dP=g'(P)\). Esta é uma maneira de medir quanto a demanda do consumidor \(Q\) varia em resposta a uma mudança no preço. Contudo, não é uma medida muito útil, já que depende das unidades de medida de \(P\) e \(Q\). Por exemplo, obteríamos uma resposta diferente se o preço estivesse em euros ao invés de dólares.

Ao contrário, definimos a elasticidade-preço da demanda no texto como:

\[-\frac{\text{ variação % na quantidade demandada}}{\text{ variação % no preço}}\]

Esta é uma medida mais útil da sensibilidade da demanda ao preço. Com essa definição, você pode observar que a elasticidade é independente das unidades de medida. Entretanto, está estreitamente relacionada à derivada \(g'(P)\) — para comprovar, suponha que o preço muda de \(P\) para \(P + \Delta P\), levando a quantidade demandada a passar de \(Q=g(P)\) para \(Q + \Delta Q\). A variação percentual no preço é \(100 \Delta P/P\), e a variação percentual na quantidade é \(100 \Delta Q/Q\). Substituindo na expressão da elasticidade, obtemos:

\[-\frac{ \Delta Q}{Q} \left/ \frac{\Delta P}{P} \right. = -\frac{P}{Q} \, \frac{ \Delta Q}{ \Delta P}\]

Encontrar o limite desta expressão quando \(\Delta P \to 0\) nos dá a definição de cálculo para a elasticidade-preço da demanda, que denotamos por \(\varepsilon\) assim como no texto:

\[\varepsilon = - \frac{P}{Q} \, \frac{ dQ}{dP}\]

E como \(Q=g(P)\), a elasticidade também pode ser escrita como:

\[\varepsilon = -\frac{Pg'(P)}{g(P)}\]

Note que o valor da elasticidade normalmente é positivo já que, de acordo com a Lei da Demanda, a derivada da função de demanda será negativa.

Quando definida assim, usando cálculo, \(\varepsilon\) é apenas aproximadamente igual à nossa definição original de elasticidade como sendo a queda percentual na quantidade demandada quando o preço aumenta em 1%. Contudo, sob a premissa razoável de que 1% é uma quantidade pequena, essa é uma aproximação adequada, e normalmente pode ser interpretada dessa forma.

Considere a função de demanda:

\[Q=100 P^{-0,8}\]

Aqui,

\[\varepsilon=-\frac{P}{Q}\,\frac{dQ}{dP} = -\frac{P}{100P^{-0,8}}\times -80P^{-1,8} = 0,8\]

Nesse caso específico, a elasticidade da demanda é constante — é igual a \(0,8\) em todos os pontos da curva de demanda.

Em geral, as elasticidades não são constantes, e variam à medida que nos movemos ao longo da curva de demanda. Porém, o exemplo acima ilustra um caso especial. Se o formato da função de demanda é \(Q = aP^{-c}\), onde \(a\) e \(c\) são constantes positivas, a elasticidade da demanda é \(c\). Essa é a única classe de funções de demanda para a qual a elasticidade é constante.

Expressando elasticidade em termos de quantidade

Outra expressão para a elasticidade da demanda pode ser obtida retornando à função de demanda inversa \(P=f(Q)\). Pela regra de função inversa,

\[\frac{dP}{dQ} = 1 \left/ \frac{dQ}{dP} \right.\]

então

\[\varepsilon = - \frac{P}{Q} \left/ \frac{dP}{dQ} \right. = - \frac{f(Q)}{Qf'(Q)}\]

Um segundo exemplo: suponha que a Belos Carros enfrente a função de demanda inversa

\[P= 8.000 - 80 Q\]

como na Figura 7.15 do texto. Usando a expressão acima, a elasticidade da demanda é:

\[\varepsilon=-\frac{8.000 -80 Q}{Q\times -80} = \frac{100}{Q} - 1\]

De outra forma, podemos expressar a elasticidade em termos de preço: \(Q=\dfrac{8.000-P}{80}\), então

\[\varepsilon= -\frac{P}{Q}\, \frac{dQ}{dP} = -\frac{80P}{8.000 -P} \times -\frac{1}{80} = \frac{P}{8.000 -P}\]

Cada uma das duas expressões para \(\varepsilon\) mostra que ela cai quando nos movemos para a direita ao longo da curva de demanda, com \(Q\) aumentando e \(P\) diminuindo. Isso vale para toda função de demanda linear, uma vez que nesse caso \(\varepsilon\) se aproxima de \(0\) à medida que \(P\) se aproxima de \(0\), e \(\varepsilon\) se aproxima de \(\infty\) à medida que \(P\) se aproxima de seu valor máximo, onde \(Q=0\). Portanto, se a Belos Carros vende apenas dois carros por dia ao preço de $7.840, a elasticidade da demanda é 49; enquanto que, se a empresa vende 95 carros por dia cobrando apenas $400 por carro, \(\varepsilon=0,053\) com três decimais.

Elasticidade e receita marginal

No Leibniz 7.6.1, vimos que se a função de demanda inversa da Belos Carros é \(f(Q)\), sua função de receita é

\[R(Q) = Qf(Q)\]

e que a receita marginal (RMg) é definida da seguinte forma:

\[\text{RMg} = R'(Q) = f(Q) + Qf'(Q)\]

Reescrevendo esta expressão com a fórmula \(\varepsilon=-\dfrac{f(Q)}{Qf'(Q)}\), e utilizando o fato de que \(P=f(Q)\), vemos que há uma relação entre a receita marginal e a elasticidade da demanda:

\[\text{RMg} = f(Q) - \frac{f(Q)}{\varepsilon} = P\left(1 - \frac{1}{\varepsilon}\right)\]

Isso implica que a receita marginal será positiva se \(\varepsilon\gt1\), e negativa se \(\varepsilon\lt1\).

Como destacado no texto, a demanda é dita elástica se \(\varepsilon\gt1\), e inelástica se \(\varepsilon\lt1\). O segundo exemplo mostra que a demanda pode ser elástica e inelástica em diferentes pontos da mesma curva de demanda. O que acabamos de mostrar é que a receita marginal é positiva se, e somente se, a firma está operando na porção da curva de demanda onde a demanda é elástica. Isso ocorrerá se a firma maximiza seu lucro, portanto, escolhe o produto que iguala receita marginal e custo marginal, uma vez que o custo marginal é positivo.

O markup

No Leibniz 7.6.1, vimos que a condição de primeira ordem para maximização de lucro é \(\text{RMg} = \text{CMg}\), onde \(\text{CMg}\) é o custo marginal. Usando a fórmula de receita marginal que acabamos de derivar, podemos escrever a condição de primeira ordem da seguinte forma:

\[(\varepsilon -1)P = \varepsilon \, \text{CMg}\]

Rearranjando,

\[\frac{P - \text{CMg}}{P} = \frac{1}{\varepsilon}\]

O lado esquerdo desta equação é o markup da firma — isto é, a margem de lucro \(P-\text{CMg}\) como proporção do preço. A equação nos diz que o markup (no ponto de maximização de lucro) será maior quanto menor for a elasticidade da demanda. Por exemplo, se a elasticidade da demanda é \(5\) no ponto ótimo, há um markup de \(20\%\), enquanto uma elasticidade da demanda de \(1,25\) significa que o markup é \(80\%\), então a firma estabelecerá seu preço em cinco vezes o custo marginal. A relação inversa entre markup e elasticidade do preço da demanda é ilustrada pelas Figuras 7.16 e 7.17 do texto, reproduzidas abaixo como Figura 1.

Elasticidade em geral

Elasticidade é um conceito matemático geral, ainda que, até onde sabemos, apenas economistas o utilizem. Suponha que tenhamos uma função diferenciável \(y=F(x)\), onde \(x\) e \(y\) assumem apenas valores positivos. A elasticidade de \(y\) em relação a \(x\) pode ser definida como:

\[\frac{x}{y} \, \frac{dy}{dx} = \frac{xF'(x)}{F(x)}\]

Este é o limite da razão

\[\frac{\text{ variação % em } y}{\text{ variação % em } x}\]

à medida que o denominador se aproxima de zero. Uma alternativa, que utilizamos no caso da elasticidade-preço da demanda, é definir a elasticidade como o valor absoluto desse limite.

Leia mais: Seções 6.4 e 7.4 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.