Leibniz 7.3.1

Funções de custo médio e de custo marginal

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Os custos totais de produção de uma firma manufatureira como a Belos Carros incluem o aluguel da fábrica, o leasing dos equipamentos e das máquinas, o preço das matérias-primas (incluindo suprimentos básicos), e os salários de todos os empregados. A função de custo, \(C(Q)\), descreve como os custos totais da firma variam com seu produto – o número de carros produzidos, \(Q\). Neste Leibniz, mostramos como as funções de custo médio e de custo marginal da firma estão relacionadas com \(C(Q)\).

De modo geral, custos totais vão aumentar junto com a quantidade produzida pela firma. A seguir, tratamos \(Q\) como uma variável contínua, uma aproximação comum e útil quando lidamos com números grandes. Assim, faz sentido assumir que a função \(C\) é diferenciável, e descrever o fato de que é uma função crescente através da desigualdade:

\[C'(Q)\gt0\]

O gráfico da função \(C\) está representado no painel superior da Figura 7.7 do texto, que reproduzimos abaixo como Figura 1. Note que \(C(0)=F\gt0\); mesmo que nenhum carro seja produzido, a firma incorre em alguns custos, \(F\), chamados de custos fixos. No diagrama, \(C\) é uma função crescente e também convexa: a inclinação da curva aumenta à medida que \(Q\) aumenta. Vamos falar mais sobre isso a seguir.

O custo médio (CMe) de produzir Belos Carros é definido como sendo o custo total dividido pelo número de carros produzidos. Então, se são produzidos \(Q\) carros:

\[\text{CMe} = \frac{C(Q)}{Q}\]

No gráfico superior da Figura 1, o custo médio de produzir \(Q\) carros é a inclinação da reta que vai da origem ao ponto \((Q, C(Q))\). Pelo diagrama, você pode observar que a inclinação varia de acordo com \(Q\): o próprio custo médio CMe é função de \(Q\). O gráfico da função \(CMe(Q)\) é exibido no painel inferior da Figura 1.

O custo marginal (CMg) é a taxa pela qual os custos aumentam se \(Q\) aumenta. Logo, se \(Q\) carros forem produzidos:

\[\text{CMg} =C'(Q)\]

Assim como no texto, você pode interpretar CMg como o custo de produzir um carro a mais – mas lembre-se de que é apenas uma aproximação. Geometricamente, CMg é a inclinação da curva \(C(Q)\) mostrada no gráfico superior da Figura 1. Como mencionado antes, esta função de custo tem a propriedade de que a inclinação aumenta à medida que \(Q\) aumenta: estamos assumindo que, para a Belos Carros, o custo de produzir um carro adicional é função crescente do número de carros já produzidos. Isso significa que o custo marginal é uma função crescente de \(Q\). A função de custo marginal é dada pela reta inclinada para cima no gráfico superior da Figura 1.

Agora pense sobre o formato da função de custo médio. Se lembrar que o custo médio é a inclinação do raio que une \(C(Q)\) à origem, você pode notar, no gráfico superior da Figura 1, que o custo médio é alto quando \(Q\) é baixo; depois, decresce gradativamente até o ponto B, onde \(Q=40\), antes de voltar a crescer. Isso se reflete no gráfico inferior, no qual a curva CMe tem a forma de U e alcança o ponto de mínimo em \(Q=40\). O diagrama também mostra que \(\text{CMg} \lt \text{CMe}\) se \(Q \lt 40\), \(\text{CMg} \gt \text{CMe}\) se \(Q \gt 40\) e \(\text{CMg} = \text{CMe}\) se \(Q = 40\). Outra forma de dizer isso é afirmar que \(\text{CMg} - \text{CMe}\) sempre tem o mesmo sinal que a inclinação da curva CMe. Agora vamos provar que isso é sempre verdadeiro, seja qual for o formato da função de custo.

Pela regra de diferenciação de quociente:

\[\frac{d}{dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) = \frac{QC'(Q)- C(Q)}{Q^2}\]

Sabemos que \(C'(Q)= \text{CMg}\) e \(C(Q) = Q \times \text{CMe}\). Portanto:

\[\frac{d}{dQ} (\text{CMe} ) = \frac{\text{CMg}-\text{CMe}}{Q}\]

Como \(Q\gt0\), decorre que a inclinação da curva CMe para cada valor de \(Q\) tem o mesmo sinal que \(\text{CMg} - \text{CMe}\), ou seja, o que queríamos demonstrar.

Leia mais: Seções 6.4 e 8.1 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.