Leibniz 7.6.1

Receita marginal e custo marginal

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Uma forma de determinar o preço e a quantidade que maximizam os lucros de uma firma como a Belos Carros é encontrar o ponto no qual a curva de demanda é tangente a uma curva isolucro. Este Leibniz apresenta um método alternativo que utiliza a receita marginal e o custo marginal da firma.

Lembre-se que o lucro da Belos Carros, \(\Pi\), é igual a sua receita total de vender carros menos o custo total de produzi-los:

\[\Pi = PQ - C(Q)\]

A curva de demanda inversa, \(P=f(Q)\), nos indica o preço máximo \(P\) ao qual \(Q\) carros podem ser vendidos, então podemos escrever a receita como função somente de \(Q\), que chamamos de função de receita e denotamos por \(R(Q)\). Portanto:

\[R(Q) = f(Q) \times Q\]

Como mostra a Figura 7.12a do texto, reproduzida abaixo como Figura 1, a receita em qualquer ponto da curva de demanda pode ser representada graficamente como o retângulo vermelho abaixo da curva.

A expressão anterior dos lucros pode ser escrita como função do produto \(Q\), sendo a diferença entre a função de receita total \(R(Q)\) e a função de custo total \(C(Q)\):

\[\Pi = R(Q) - C(Q)\]

Para encontrar o valor de \(Q\) que maximiza o lucro, derivamos em relação a \(Q\) para obter a condição de primeira ordem \(d\Pi/dQ =0\), que implica que:

\[R'(Q) = C'(Q)\]

custo marginal

Efeito de produzir uma unidade adicional de produto sobre o custo total de produção. Corresponde à inclinação da função de custo total em cada ponto.

receita marginal

Aumento de receita ao aumentar a quantidade produzida de Q para Q+1.

O termo \(C'(Q)\), do lado direito da equação, é o custo marginal (CMg) da firma — é a taxa à qual o custo aumenta à medida que o produto cresce. De modo semelhante, a derivada da função de receita \(R'(Q),\) é a taxa à qual a receita aumenta com o produto, e é conhecida como receita marginal (RMg). Logo, a condição de primeira ordem para a maximização de lucro pode ser escrita como:

\[\text{RMg}=\text{CMg}\]

Assim, a condição de primeira ordem nos diz que, quando \(Q\) é igual ao nível de maximização de lucro, a receita marginal é igual ao custo marginal.

A curva de custo marginal (isto é, a função \(C'(Q)\)) mostra como o custo marginal varia à medida que o produto varia. No caso da Belos Carros, sabemos que o custo marginal aumenta com o produto, então a curva CMg se inclina para cima. De modo semelhante, a função \(R'(Q)\) é a curva de receita marginal, mostrando como a receita marginal varia com o produto. No texto, desenhamos a curva RMg se inclinando para baixo. A Figura 1 reproduz o painel intermediário da Figura 7.12b do texto, exibindo ambas as curvas.

A quantidade maximizadora de lucro está no ponto em que as duas curvas se cruzam — no ponto E da Figura 2, onde \(R'(Q=C'(Q)\). Como a Belos Carros tem CMg inclinada para cima e RMg inclinada para baixo, há apenas um ponto de intersecção.

No ponto E, a companhia produz 32 carros. Como explicado nas etapas interativas da Figura 7.12b do texto, podemos ver que esta quantidade maximiza os lucros ao notar que o custo marginal de produzir mais que 32 carros seria maior do que a receita marginal gerada (CMg > RMg), enquanto o oposto seria verdadeiro se menos do que 32 carros fossem produzidos.

Entretanto, note que esse argumento poderia não ser válido se as curvas tivessem inclinações diferentes. Se CMg se inclinasse para baixo (o que pode acontecer, se a firma tiver economias de escala) e RMg se inclinasse para cima (o que seria incomum, mas pode acontecer com algumas funções de demanda), o ponto de intersecção seria um ponto de minimização de lucro (tente desenhar as curvas e explicar para você mesmo por que isso deve ser verdadeiro).

De modo geral, se podemos encontrar uma solução \(Q^*\) para a condição de primeira ordem CMg = RMg, podemos dizer que esta será a quantidade maximizadora de lucros se CMg < RMg quando \(Q\lt Q^*\), e CMg > RMg quando \(Q\gt Q^*\).

A relação entre os dois métodos

Agora vamos mostrar que a condição de primeira ordem derivada abaixo, \(\text{RMg}=\text{CMg}\), é equivalente à condição de primeira ordem de maximização de lucro dada no Leibniz 7.5.1. Usando a regra de derivada do produto para diferenciar \(R(Q) = Qf(Q)\), vemos que:

\[\text{RMg} = \frac{d}{dQ} (Qf(Q)) = f(Q) + Qf'(Q) = P+Qf'(Q)\]

Então, a condição de primeira ordem \(\text{RMg} = \text{CMg}\) pode ser escrita como:

\[P+Qf'(Q) = \text{CMg}\]

Rearranjando,

\[f'(Q)= \frac{ \text{CMg} -P}{Q}\]

que é a condição de primeira ordem do Leibniz 7.5.1. Lembre-se de que podemos interpretá-la como uma afirmação de que a inclinação da curva de demanda é igual à inclinação da curva isolucro.

Desenhamos diagramas muito diferentes um do outro para ilustrar as duas formas de condição de primeira ordem. CMg = RMg é ilustrada ao desenhar as curvas CMg e RMg e encontrar sua intersecção. A outra forma pode ser ilustrada desenhando as curvas isolucro e de demanda e então mostrando seu ponto de tangência.

O método CMg = RMg é usado com frequência na análise do comportamento das firmas. No trabalho empírico, às vezes é mais fácil estimar a função de receita do que a função de demanda. No Leibniz 7.8.1, quando introduzirmos o conceito de elasticidade da demanda, vamos ver outro jeito útil de escrever a condição de primeira ordem. Entretanto, qualquer que seja o método usado, as condições de primeira ordem se equivalem e, portanto, a solução para a quantidade maximizadora de lucros é a mesma.

Leia mais: Seções 6.4 e 8.1 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.