Leibniz 7.4.1

Curvas isolucro e suas inclinações

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

O lucro de uma firma é a diferença entre sua receita (o preço multiplicado pela quantidade vendida) e seus custos totais. Se conhecemos a função de custo da firma, \(C(Q)\), podemos determinar suas curvas isolucro — as combinações de \(P\) e \(Q\) que geram a mesma quantidade de lucro. Neste Leibniz, vamos obter a equação de uma curva isolucro, explicar seu formato e encontrar sua inclinação.

Lucro econômico é igual a receita menos custos. Para uma firma manufatureira como a Belos Carros, o lucro depende da quantidade de produto produzida (\(Q\)) e do preço (\(P\)) ao qual cada unidade de produto pode ser vendida. Denotamos o lucro por \(\Pi,\), como antes. Se a função de custo da firma é \(C(Q)\), então seu lucro pode ser escrito como uma função de \(P\) e \(Q\):

\[\Pi = PQ - C(Q)\]

As curvas isolucro são uma família de curvas no plano \(QP\), cada uma das quais correspondendo a um dado nível de lucro. A equação de uma curva isolucro típica é:

\[PQ - C(Q) = k\]

onde \(k\) é uma constante representando o nível de lucro. Há uma curva diferente para cada valor de \(k\). Vamos representar as curvas isolucro em um diagrama com \(P\) no eixo vertical, então é útil reescrever esta equação de uma forma que expressa \(P\) em função de \(Q\):

\[P = \frac{C(Q) + k}{Q}\]

Esta equação implica que se \(k\) aumenta, então \(P\) também aumenta para qualquer dado nível de \(Q\). Isso significa que, em um diagrama representando a família de curvas isolucro, curvas mais altas correspondem a maiores níveis de lucro. Você pode observar isso nos diagramas para Cherrios Maçã com Canela (Figura 7.4) e para Belos Carros (Figura 7.10) que estão no texto, reproduzidos aqui como Figuras 1 e 2.

Agora explicamos porque as curvas isolucro dessas duas firmas têm as formas exibidas no diagrama. A equação da curva isolucro correspondente ao nível de lucro \(k\) pode ser escrita como:

\[P = \frac{C(Q)}{Q} + \frac{k}{Q}\]

ou, de modo equivalente,

\[P = \text{CMe} + \frac{k}{Q}\]

Primeiro, concentre-se no caso onde \(k = 0\): a curva de lucro econômico zero. Assumir que \(k = 0\) na equação acima mostra que a curva de lucro econômico zero é a curva de custo médio (CMe). Em todos os pontos abaixo desta curva, a firma estaria em prejuízo. Para Cherrios Maçã com Canela, o custo médio é constante: produzir cada libra custa $2, seja a quantidade total grande ou pequena. Então, a curva de lucro econômico zero é uma linha horizontal em \(P = 2\). A curva de custo médio da Belos Carros tem formato de U, e portanto, uma curva de lucro econômico zero também tem formato de U.

Agora considere as curvas correspondentes aos níveis de lucro positivos, \(k\gt0.\) Logo, a equação da curva isolucro expressa \(P\) como a soma de CMe e \(k/Q\). Note que \(k/Q\) é alto quando \(Q\) é baixo, e

\[\frac{d}{dQ} \left( \frac{k}{Q} \right) = - \frac{k}{Q^2} \lt0, \quad \frac{d^2}{dQ^2} \left( \frac{k}{Q} \right) = \frac{2k}{Q^3} \gt0\]

Então \(k/Q\) é uma função decrescente e convexa de \(Q\).

O formato das curvas isolucro depende dos formatos de \(k/Q\) e da curva CMe. No caso de Cherrios Maçã com Canela, isso é particularmente simples. CMe é uma linha horizontal e a equação das linhas isolucro é \(P = 2+k/Q\). Portanto, as curvas isolucro são decrescentes e convexas, como \(k/Q\), como vemos na Figura 1.

Para a Belos Carros, a curva CMe tem formato de U, portanto, é convexa, com ponto de mínimo em \(Q = 40\) (ponto B). A curva isolucro correspondente a um nível de lucro de \(k\gt0\) também deve ser convexa, já que a soma de duas funções convexas sempre é convexa (a segunda derivada de \(f(x) + g(x)\) é \(f''(x) + g''(x)\), que é uma soma positiva se \(f''(x)\) e \(g''(x)\) são positivas).

Se \(0\lt Q\lt40\), então \(C(Q)/Q\) e \(k/Q\) são funções decrescentes de \(Q\), de modo que as curvas isolucro são inclinadas para baixo. Se \(Q\) é grande, então a derivada de \(k/Q\) se aproxima de zero, e assim a inclinação da curva isolucro é quase igual à inclinação de \(C(Q)/Q\) — as curvas isolucro se inclinam para cima (assim como a curva CMe). Portanto, a curva isolucro para \(k\gt0\), assim como a curva CMe, tem formato de U, com ponto de mínimo em algum valor positivo de \(Q\).

Seja \(Q^*\) o valor de \(Q\) onde ocorre o lucro mínimo. Observe que \(Q^*\) depende de \(k\). Sabemos que as curvas isolucro se inclinam para baixo até \(Q = 40\), então \(Q^* \gt 40\): o ponto de mínimo sobre a curva isolucro onde \(k\gt0\) está à direita do ponto de mínimo da curva de lucro zero. Um argumento semelhante mostra que, à medida que aumentamos \(k\), \(Q^*\) também aumenta: as curvas isolucro correspondentes a altos níveis de lucro têm seu ponto de mínimo mais à direita (Figura 2).

Assim, explicamos por que as curvas isolucro da Belos Carros têm formato de U. A outra propriedade que você pode observar na Figura 2 é que a curva de custo marginal atravessa os pontos de mínimo sobre as curvas isolucro. No Leibniz 7.3.1, provamos que isso é verdade para a curva CMe (a curva isolucro zero) ao mostrar que \(\text{CMg} - \text{CMe}\) sempre tem o mesmo sinal que a inclinação da curva CMe. Agora utilizaremos a mesma abordagem para as inclinações das outras curvas isolucro.

Considere a curva isolucro correspondente a um lucro de \(k\gt0\). Ao longo desta curva:

\[\frac{dP}{dQ} = \frac{d} {dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) - \frac{k}{Q^2}\]

Logo, \(dP/dQ\) é a diferença entre os dois termos, sendo que o primeiro é a inclinação da curva CMe; no Leibniz 7.3.1, mostramos (usando a regra do quociente) que essa é \((\text{CMg} - \text{CMe)}/Q\). Além disso, pela equação da curva isolucro, sabemos que \(k/Q = P - \text{CMe}\). Portanto:

\[\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{CMg} - \text{CMe}}{Q} - \frac{P - \text{CMe}}{Q}\]

Simplificando o lado direito, vemos que:

\[\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{CMg} - P}{Q}\]

Esta equação nos dá a inclinação em qualquer ponto da curva isolucro \(P = \text{CMe}+ k/Q\). Quando \(Q\) é pequena, \(P\) é alto — acima do custo marginal CMg — e a curva se inclina para baixo. Então, à medida que \(Q\) aumenta, \(P\) cai, o que continua enquanto valer \(P\lt \text{CMg}\). No caso da Belos Carros, por fim atingimos um ponto onde \(P = \text{CMg}\), e neste ponto, a equação nos diz que a inclinação é zero: chegamos a um ponto de mínimo da curva isolucro. A curva CMg se inclina para cima a partir deste ponto, então, a partir daqui, \(\text{CMg} \gt P\) e a curva isolucro também se inclina para cima.

E o caso de Cherrios Maçã com Canela? Como o custo unitário de uma libra de Cherrios é $2 a qualquer nível de produção, o custo marginal e o custo médio são iguais a $2. A curva isolucro zero não é apenas a curva CMe, mas também a curva CMg. A equação de qualquer curva isolucro pode ser escrita como \(P = \text{CMg}+ k/Q\). Logo, se \(k \gt 0\), então \(P \gt \text{CMg}\), o que significa que a inclinação é sempre negativa. Como você pode ver na Figura 1, todas as curvas isolucro positivas se inclinam para baixo, mas nunca atingem a curva CMg.

Leia mais: Capítulo 8 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.