Leibniz 6.7.1 Lucro, salários e esforço

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

Na interação entre Maria e seu empregador, esse escolhe o salário e sua funcionária responde escolhendo com quanto afinco irá trabalhar. Neste Leibniz, analisamos matematicamente a decisão sobre a determinação do salário feita pelo empregador.

Como o empregador de Maria deveria determinar o salário? Primeiro, vamos mostrar que, para maximizar o lucro, ele deveria escolher o salário que minimiza o custo por unidade de esforço, levando em consideração como Maria irá reagir.

Se a firma emprega Maria por \(H\) horas por semana e seu esforço é de \(e\), ela faz \(N\) horas de trabalho produtivo, onde \(N=eH\). Suponha que a função de produção do empregador seja \(f(N)\), e o produto possa ser vendido a um preço de \(p\). Assim, os lucros do empregador, que simbolizamos pela letra grega “pi” maiúscula, \(\Pi\), pode ser escrita como:

\[\Pi=pf(eH)−wH\]

O empregador está livre para escolher o salário bem como o número de horas de trabalho de Maria. Maria escolherá seu próprio esforço. Sendo assim, o empregador gostaria de escolher \(w\) e \(H\) para maximizar \(\Pi\), sabendo que, qualquer que seja o salário escolhido, Maria responderá escolhendo:

\[e = E(w)\]

Pensando sobre esse problema, não fica claro que o empregador deveria escolher o salário que minimiza o custo do esforço, \(w/e\) — embora tenhamos argumentado no texto que ele deveria fazer isso. Para verificá-lo matematicamente, é útil reescrever os lucros em termos de \(w\) e \(N\), ao invés de \(w\) e \(H\) (lembre-se que \(N\) é o fator de produção). Substituir \(H=N/e\) nos dá:

\[\Pi=pf(N)−\frac{w}{e}N \quad\mbox{onde } e=E(w)\]

Agora, podemos ver que o lucro depende do número de unidades de trabalho, \(N\), e do custo por unidade de trabalho (ou esforço), \(w/e\). Nessa expressão, fica claro que, para maximizar o lucro, o empregador deveria estabelecer o salário de modo que o custo \(w/e\) seja o menor possível.

Escolhendo o salário

Mostramos que o empregador deve escolher o salário para minimizar os custos por unidade de esforço, \(w/e\), levando em consideração que Maria escolherá \(e=E(w)\). Pela regra do quociente:

\[\frac{d}{dw} \left(\frac{w}{E(w)}\right) = \frac{E(w)−wE'(w)}{E(w)^2}\]

Obtemos a condição de primeira ordem para a minimização dos custos ao estabelecer que esta expressão é igual a zero. Portanto, o salário de minimização de custos \(w^*\) satisfaz a equação:

\[E'(w^*)= E(w^*)/w^*\]

Na notação alternativa de derivadas, a equação pode ser escrita como:

\[\frac{de}{dw} = \frac{e}{w}\]

Essa condição para o salário está ilustrada na Figura 1, que reproduz a Figura 6.6 do texto. As linhas retas são as linhas isocusto de esforço, que têm inclinação \(e/w\). No ponto A, a equação acima é satisfeita: a inclinação da linha isocusto, \(e/w\), é igual à inclinação da curva de melhor resposta do trabalhador, \(de/dw\). Para a curva de melhor resposta exibida no diagrama, \(w^*=12\), o nível de esforço correspondente é \(E(w^*)\) = 0,5.

No diagrama, as linhas isocusto mais inclinadas correspondem a menores custos por unidade de esforço (maior \(e/w\), menor \(w/e\)). Podemos ver então que o ponto A é o ponto de minimização de custo na curva de melhor resposta. Para verificar matematicamente que o salário que satisfaz a condição de primeira ordem, \(w^*\), corresponde a um ponto de mínimo da função \(w/E(w)\), devemos utilizar a segunda derivada e verificar se é positiva quando \(w=w^*\). Se você fizer isso, descobrirá que o formato côncavo da curva de melhor resposta, expresso matematicamente pela condição \(E’’(w)\lt0\), garante que \(w^*\) minimize os custos.

Escolhendo as horas de trabalho

Tendo determinado o salário de maximização dos lucros e de minimização de custos, \(w^*\), o empregador pode decidir quantas unidades de esforço, \(N\), são necessárias para maximizar os lucros. Se o salário definido é igual a \(w^*\), os lucros são:

\[\Pi=pf(N)−\frac{w^*}{E(w^*)}N\]

Diferenciar em relação a \(N\) e igualar a derivada a zero nos dá uma equação para o fator de produção que maximiza os lucros \(N^*\):

\[pf'(N^*) = \frac{w^*}{E(w^*)}\]

Essa equação tem uma interpretação econômica. \(f’(N)\) é o produto marginal de uma unidade a mais de esforço no trabalho, e então \(pf’(N)\) é a receita marginal que o empregador obtém de uma unidade de esforço de trabalho. O empregador maximiza os lucros escolhendo um valor de \(N\) tal que a receita marginal seja igual ao custo marginal de uma unidade a mais de esforço, \(w^*/E(w^*)\).

Por fim, tendo encontrado o número ótimo de unidades de esforço, \(N^*\), e sabendo que Maria escolherá um nível de esforço de \(E(w^*)\), o empregador pode encontrar o número de horas em que deve empregá-la a partir da relação \(H=N/e\).

Exemplo

Suponha que o salário de reserva de Maria seja \(w_r\) (uma constante positiva) e sua função de melhor resposta seja:

\[E(w) = k(w−w_r)^\alpha \quad (w\gt w_r)\]

onde \(k\) e \(\alpha\) também são constantes positivas, com \(\alpha \lt1\). Logo, a condição de primeira ordem para o salário de maximização de lucro, \(E'(w^*)= E(w^*)/w^*\), é:

\[\alpha k(w^* −w_r)^{\alpha−1} = k(w^*−w_r)^\alpha /w^*\]

Dividindo toda a expressão pelo lado direito nos dá \(\alpha w^*/(w^* − w_r) =1\), e portanto:

\[w^* = \frac{w_r}{1 − \alpha}\]

Observe que \(w^*\) depende de \(w_r\) e de \(\alpha\) mas não de \(k\). Os números na Figura 1 correspondem ao caso em que \(w_r =6\), \(\alpha=0,5\) and \(k = 0,5/\sqrt{6}\).

O empregador estabelecerá que \(w^* = w_r/(1 − \alpha)\), e Maria escolherá seu nível de esforço como resposta:

\[E(w^*) = k \left(\frac{\alpha w_r}{1 − \alpha}\right)^\alpha\]

Leia mais: Seções 7.1 e 8.1 de Malcolm Pemberton e Nicholaus Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.