Leibniz 3.4.1 Taxa marginal de transformação

Para entender melhor os suplementos Leibniz, veja por favor a “Introdução aos Leibniz”.

A decisão de quanto Alexei irá estudar é restrita pelo conjunto factível de combinações de tempo livre e pontos na nota. Assim, ele enfrenta um trade-off: para conseguir boas notas ao final de seu curso, Alexei tem que abrir mão de um pouco de tempo livre. A taxa marginal de transformação (TMT) mede o tamanho do trade-off. Neste Leibniz, mostraremos como a TMT pode ser calculada a partir da função de produção.

A equação da fronteira de possibilidades

A Figura 1 mostra o conjunto de possibilidades de Alexei. Lembre-se de que construímos a fronteira de possibilidades utilizando uma função de produção que relaciona notas nas provas a horas de estudo.

Para determinar matematicamente a fronteira de possibilidades, definimos que a função de Alexei seja (como visto antes):

\[y = f(h)\]

em que \(y\) é seu produto (nota) e \(h\), suas horas de estudo. \(f\) é uma função crescente.

A fronteira de possibilidades é a relação entre nota final e tempo livre. Se Alexei tem \(t\) horas de tempo livre, suas horas de estudo são dadas por:

\[h=24-t\]

Substituindo esta expressão na função de produção, obtemos a equação da fronteira de possibilidades:

\[y = f(24 - t)\]

Calculando a taxa marginal de transformação

Utilizando diagramas, vimos que a TMT está relacionada à inclinação da fronteira de possibilidades. Ao diferenciar a equação que a define, podemos encontrar sua inclinação. Quando Alexei tem \(t\) horas de tempo livre, a taxa pela qual sua nota final varia conforme seu tempo livre aumenta é dada por:

\[\frac{dy}{dt} = f'(24-t)\frac{d}{dt}(24 -t)\]

que é obtida utilizando a regra da função composta (geralmente chamada de regra da cadeia). Simplificando-a, temos:

\[\frac{dy}{dt} = - f'(24-t)\]

O lado direito desta equação é negativo, uma vez que \(f\) é uma função crescente. Portanto, a fronteira é inclinada para baixo, como mostra o diagrama. A inclinação da fronteira de possibilidades no ponto \((t,\ f(24 -t))\) é \(-f'(24 -t)\), uma quantidade negativa.

taxa marginal de transformação (TMT)

Quantidade de um bem que deve ser sacrificada para adquirir uma unidade adicional de outro bem. Em qualquer ponto, é a inclinação da fronteira de possibilidades. Veja também: taxa marginal de substituição.

A inclinação negativa nos mostra que a nota final diminui à medida que o tempo livre aumenta. A taxa marginal de transformação (TMT) é a taxa pela qual a nota aumenta conforme o tempo livre é sacrificado, dada pelo valor absoluto da inclinação, uma quantidade positiva:

\[\text{TMT}=f'(24-t)\]

O significado da TMT é o seguinte: se o tempo livre aumentar em uma pequena quantidade, digamos, \(\Delta t\) horas, a nota final diminui em aproximadamente \(f'(24-t)\Delta t\) pontos na nota. Ou, se o tempo livre diminuir em \(\Delta t\) horas, a nota final aumenta em aproximadamente \(f'(24-t)\Delta t\) pontos na nota. A Figura 2 mostra a fronteira de possibilidades para a função de produção \(y=20,4h^{0,5}\) (cuja forma é semelhante, mas não idêntica, à da fronteira de possibilidades de Alexei). O painel inferior exibe a TMT, que cresce à medida que nos movemos para a direita ao longo da fronteira, direção na qual o tempo livre aumenta e a nota final diminui.

Em resumo, a TMT mede a taxa à qual pontos na nota têm que ser sacrificados para obter mais horas de tempo livre, e pode ser encontrada ao simplesmente diferenciar a função de produção. Uma vez que o número de horas de estudo \(h\) é igual a \(24 - t\), a TMT é igual ao produto marginal do trabalho \(f'(h)\). O fato de que a TMT aumenta à medida que nos movemos ao longo da fronteira, em direção a mais tempo livre e menos horas de estudo, é uma consequência dos retornos decrescentes do trabalho: como \(f'(h)\) é uma função decrescente de \(h\), seu valor aumenta quando \(h\) diminui.